令y=x^(2x)

兩邊同時取自然對數，得到lny=2xlnx

兩邊同時對x求導，得到y'/y=2lnx+2x(1/x)=2(lnx+1)

所以y'=2(lnx+1)y

將y=x^(2x)代入，得到y'=2(lnx+1)[x^(2x)]

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。

導數是微積分的一個重要支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了貢獻。幾何意義是函數在某一點的變化率，也就是切線的斜率。

讓我們用定義來求函數 y= x^2的導數。導數可以理解為函數在某點上的變化率。

步驟一：求增量Δy

增量Δy表示在點(x, y)附近取一個微小的x增量（通常用h表示），計算對應的y的增量。也就是說，我們要計算函數在點(x, y)處的變化量。

Δy= f(x+ h)- f(x)

對于 y= x^2,增量Δy為：

Δy=(x+ h)^2- x^2

步驟二：算比值

接下來，我們將增量Δy除以對應的x的增量，得到一個比值。

比值=Δy/ h

步驟三：取極限

最后一步是求極限，即讓微小的x增量 h趨向于零。這將給我們導數的定義。

dy/dx= lim(h→0)(Δy/ h)

現在我們將以上步驟應用到 y= x^2:

1.求增量Δy:

Δy=(x+ h)^2- x^2

Δy= x^2+ 2xh+ h^2- x^2

Δy= 2xh+ h^2

2.算比值:

比值=Δy/ h

比值=(2xh+ h^2)/ h

比值= 2x+ h

3.取極限:

dy/dx= lim(h→0)(2x+ h)

dy/dx= 2x

函數 y= x^2的導數是 dy/dx= 2x。

求導基本公式是常數c的導數等于零。X的n次方導數是n乘以x^n-1次方。3sinx的導數等于cosx。cosx的導數等于負的sinx。e的x方的導數等于e的x次方。a^x的導數等于a的x次方乘以lna。lnx的導數等于1/x。loga為底x的對數的導數等于1/(xlna)。導數存在的條件：函數在該點的左右導數存在且相等，不能證明這點導數存在。只有左右導數存在且相等，并且在該點連續，才能證明該點可導。

y=x^(2/3)

令x=t³,x0=(t0)³則

f'(x0)=lim【x→x0】 [f(x)-f(x0)]/(x-x0)

=lim【x→x0】 [x^(2/3)-(x0)^(2/3)]/(x-x0)

=lim【t→t0】 [t²-(t0)²]/[t³-(t0)³]

=lim【t→t0】(t+t0)/(t²+tt0+(t0)²)

=2t0/3(t0)²

=(2/3)(t0)^(-1)

=(2/3)(x0)^(-1/3)

所以可知y=x^(2/3)的導數為y'=(2/3)x^(-1/3)實際上，求導就是求極限的過程，導數的四則運算法則也來源于極限的四則運算法則。相反，如果我們知道導函數，也可以通過它反推出原來的函數，這就是不定積分。

微積分基本定理告訴我們，求原函數和積分是相等的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。